＝数学一般＝
：量、構造、変化、空間について。
（文献：・数学辞典／・数学未解決問題／・数学７つの未解決問題／・現代数学の土壌１，２／・数学１００の発見／・２１世紀の数学／・現代数学の流れ１，２／・数学１００の発見／・数学完全ガイダンス／・数学ーその形式と機能／・幾何学概論／・ゲーデルの不完全定理／・１０人の大数学者／・虚数の情緒／・放浪の天才数学者エルデシュ／・岡潔）
＝代数＝
：アルゴリズム、構造、音楽。
・「群論」：対称性。結合法則、単位元、逆元が存在。（部分群、剰余類、共役、準同型写像、同型、シロー則）
・「対称群Ｓｎ」：
・「実特殊線型群ＳＬn」：
・「直交群Ｏｎ」：
・「スピノル群」：
・「ユニタリ群Ｕｎ」：複素数係数の行列時の直交群。
・「環」：加法・乗法２つの二項演算で定まる代数形。整数。可換環は代数幾何、整数論に応用。
・「ネーター環」：
・「アルティン環」：
・「イデアル」：
・「体」：四則演算できる代数系。有理数、実数、複素数。
・「有限体」：
・「拡大体」：
・「分解体」：
・「モニック多項式」：最高次多項式が１の多項式。
・「ガロア論」：ガロア拡大（体の代数拡大）について拡大の自己同型群の閉部分群と拡大の中間体の対応関係記述可能。
・「圏」：関連する様々なクラスの数学的構造に共通する構造を見出そうとする試み。
・「関手」：圏と圏の相互関係の事。
・「リー代数」：群構造を持つ可微分多様体。
行列 多項式代数方程式 線形空間 多元環 可換環 ネーター環 多項式環 べき級数環 2次形式 クリフォード環 微分環 ケーリー代数 ジョルダン代数 加群 ホモロジー代数 ホップ代数 アーベル群 自由群 有限群 古典群 位相群 位相アーベル群 コンパクト群 代数群 等質空間 不連続群 結晶群 表現論 ユニタリ表現 不変式と共変式
（文献：・代数の世界／・行列と行列式２／・キーポイント行列と変換群／・ジョルダン標準形、テンソル代数）
＝数論＝
：素数について。
・「ｐ進数体」：各素数ｐに対しｐ進数体が構成。
・「初等整数論」：他の数学分野使わずに取り組む。
・「代数的整数論」：体論、ガロア論使用。ガウスが創始者。（類体論）
・「解析的整数論」：微積、関数論用いる。（リーマン予想、ゼータ関数、保型関数、超越数論、素数定理、モジュラー関数、テータ関数）
・「数論幾何」：グロタンディーク構想。代数幾何、使用。（楕円曲線論）フェルマ定理解決。
（文献：・はじめての数論／・数論の歩み／・解決！フェルマの最終定理／・フェルマの大定理が解けた！／・ゼータの世界／・楕円曲線論入門）
＝微分幾何＝
：座標系やなめらかさ、向きの概念が強調される幾何。（ガウスーボンネ定理）
・「ベクトル空間」：和とスカラー倍の定義された代数系。
・「アフィン空間」：ユークリッド空間から計量の概念を取り除いた空間。
・「多様体」：局所的にユークリッド空間とみなせる図形。多様体上、好きなところに局所的に座標書き込みできる。
・「テンソル」：線形的な量、幾何概念を一般化したもの。多次元の配列。（クリフォード代数）
・「シンプレティック幾何」：ハミルトンが系、非可換幾何、代数幾何、超弦論、超対称性と関係。
・「ケーラー幾何」：複素幾何。
曲率、フレネセレ則、第一、第二基本形式、測地線／楕円放物面、放物柱面、双曲放物面／共変微分、外微分、第一、第二構造式 微分可能多様体 リーマン多様体 接続 測地線 対称空間 Ｇ構造 複素多様体調和積分 リーマン部分多様体 極小部分多様体 調和写像 モース理論 ファインスラー空間 積分幾何学 ジーゲル領域 スペクトル幾何 擬共形幾何学 大域解析学
（文献：・曲線と曲面の微分幾何／・多様体の基礎／・曲面の幾何／・微分幾何講義）
＝トポロジー＝
：連続という概念に着目。空間と変化の双方に関係する。代数、幾何的。
・「位相」：距離概念を抽象化。
・「同相」：位相空間ＡからＢへの連続写像ｆが全単射でその逆写像も連続である事。
・「コンパクト」：
・「ハウスドルフ空間」：異なる点がそれらの近傍により分離できないような位相空間。
・「代数トポロジー」：位相不変量の研究。
・「微分トポロジー」：カルタンにより微分方程式を幾何学的に捉えようと生まれた。（ドラーム・コホモロジー）
・「低次元トポロジー」：結び目論、3次元多様体、グラフ論。
・「ホモロジー」：
・「ホモトピー」：点線面など連続写像が連続的に移りあう事を定式した概念。
基本群 被覆空間 写像度 複体 不動点定理 コホモロジー作用素 ファイバー空間 障害理論 リー群と等質空間の位相 ファイバー束 特性類Ｋ理論 結び糸理論 組合わせ多様体 微分位相幾何学 変換群 特異点理論 葉層理論 力学系シェープ理論 カタストローフ理論
（文献：・位相のこころ／・新しいトポロジー／・位相幾何／・トポロジー／・コホモロジー／・ポアンカレ予想／・結び目の数学）
＝代数幾何＝
：代数方程式の解となるような集合を対象とする幾何。（リーマンーロッホ定理）
代数曲線、曲面 代数多様体 アーベル多様体
（文献：・代数曲線入門／・代数幾何入門）
＝解析＝
：関数扱う。変化記述、自然科学と共通。（複素関数論／偏微分方程式）
・「関数解析」：解析学の代数化。量子力学の基盤。
・「バナッハ空間」：
・「ヒルベルト空間」：
正則関数 べき級数 デレィクレ係数 有界関数 単葉関数 超越整関数 有理形関数 値分布論 集積値理論 代数関数 リーマン面 理想境界 等角写像 タイヒミュラー空間 クライン群 多変数解析関数 解析空間 保型空間 順序線形空間 線形位相空間 関数空間 超関数 ベクトル値関数 線形作用素 コンパクト作用素、核型作用素 作用素のスペクトル解析 微分作用素 超局所作用素 バナッハ環 関数環 作用素環 演算子法 非線形関数解析
（文献：・解析概論／・複素解析／・ルベーグ積分30講／・複素数３０講／・関数解析学の基礎・基本）
